Die Macht dessen, was nicht da ist
Die Erfindung der Null
Christian Mürner
Eine Ziffer für nichts erscheint absurd. Warum ist die Null notwendig? Wäre die Vorstellung einer Welt ohne Null noch möglich?
Kapitel 0
Das klingt komisch: Kapitel null. Wenn ich zu nummerieren oder zu zählen beginne, dann doch in der Regel mit eins, zwei, drei und so weiter. Das bedeutet, wenn man den Ursprung des Zählens auf das Bedürfnis zurückführt, zu wissen, wie viele Schafe man besitzt, ist die Null überflüssig. «Man musste ja niemals einen Bestand von null Schafen notieren oder seine null Kinder zählen ... Wir brauchen keine Zahl, um das Fehlen von etwas auszudrücken, und niemand kam daher auf die Idee, der Abwesenheit von Gegenständen ein Symbol oder eine Zahl zuzuordnen», schreibt der Wissenschaftsjournalist Charles Seife.
Kapitel 1
Wem gebührt die Ehre, die Erfindung der Null feiern zu können? Eine Urform findet sich in Babylon, im heutigen Irak. Sie tritt hier allerdings nur als schräg stehender keilförmiger Platzhalter auf, markiert eine leere Stelle und ist noch keine Zahl mit eigenem Wert. Die Null hat also auf der Zahlengeraden noch keine autonome Stelle erhalten. Interessanterweise kann man einen Ausläufer dieser Rolle der Null noch heute auf der Telefon- und Computertastatur bemerken: Hier folgt die Null nach der Neun und steht nicht vor der Eins, «wo sie eigentlich hingehört».
Der Mathematiker Robert Kaplan behauptet, dass «die Republik der Zahlen noch weit konservativer ist als das Reich der Sprache und Ideen: schweizerisch in ihrem Widerwillen, Neubürger zu akzeptieren, mafiaartig in ihrer Weigerung, sie jemals wieder gehen zu lassen, wenn sie einmal dazugehören».
Kapitel 2
Wir leben nun im 3. Jahrtausend, ohne dass zwischen den Fraktionen bereinigt wäre, wann es nun begann, 2000 oder 2001. Das ist etwas ungewöhnlich für eine mathematische Angelegenheit. Sie hat ihren Ausgangspunkt darin, dass die Ägypter und dann die Römer für den Kalender die Null nicht kannten oder sie ablehnten. Auch die mittelalterlichen Mönche im Westen wussten nichts von der Null und legten das Jahr eins als Christi Geburt fest. Aber was war mit den Jahren davor? Sie wurden als ein, zwei, drei und so weiter Jahre vor Christus besiegelt. Da das Jahr null fehlte, entstand alle Desorientierung. Erstmals in der Mitte des 18. Jahrhunderts schlug ein italienischer Astronom die Einführung eines Jahres 0 vor. «Betrachtet man eine Null, sieht man nichts; blickt man aber durch sie hindurch, so sieht man die Welt», bemerkt Kaplan.
Kapitel 3
Auch wenn man beim Zählen meist bei der Eins beginnt, kommt, wer rückwärts zählt, an der Null nicht vorbei: Drei, zwei, eins - los. Die Stoppuhr beginnt bei null. Man unterscheidet deshalb Ordinalzahlen (Ordnungszahlen): Erster, Zweiter, Dritter ... von den Kardinalzahlen (Grundzahlen): null, eins, zwei, drei ... Ist, wer 54 geworden ist, am nächsten Tag schon im 55. Jahr? Solche paradoxen Sätze entstehen bei der Vermischung von Ordinal- und Kardinalzahlen. Doch das Problem, der alltägliche Widerstand, bildet die Null. Seife fragt: «Wenn das Baby ein Jahr alt wird, müsste man dann nicht sagen, bis zu diesem Augenblick sei es null Jahre alt gewesen?», und antwortet: «Natürlich sagen wir stattdessen im ersten Lebensjahr, das Kind sei sechs Wochen oder acht Monate alt - und umgehen damit elegant die Tatsache, dass das Baby null Jahre alt ist.»
Dazu lassen sich noch andere Veranschaulichungen anfügen, ich zitiere nach Kaplan: «Legt man vier Markierungen auf den Boden und tritt von der ersten zur letzten, wie viele Schritte hat man dann getan, drei oder vier? Natürlich drei, auch wenn dabei vier Markierungen im Spiel waren. Um die richtige Antwort zu erhalten, ist es hilfreich, die Startlinie ‘null’ zu nennen. Dann wird die Zahl der Markierungen, auf die man tritt, der Anzahl der Schritte entsprechen. Aber die Römer zählten so, dass drei Tage nach Sonntag Dienstag war; die italienische Bezeichnung für das 15. Jahrhundert ist Quattrocento (wörtlich: «vierhundert»), und wir alle nennen noch heute die zwei Noten von C nach E eine grosse Terz nach den drei Tönen, die daran beteiligt sind.» Ergänzen liesse sich, dass, wenn wir vom 15. Jahrhundert sprechen, beispielsweise Jahreszahlen gemeint sind wie 1446, das Todesjahr des italienischen Architekten Filippo Brunelleschi.
Kapitel 4
Die Null wurde gefürchtet, insbesondere die Griechen fanden sie sogar gefährlich. Für sie stand die Null im Bund mit dem Nichts und dem Unendlichen, mit finsteren Mächten also. «Aristoteles fand die Vorstellung der Leere so abstossend, dass er einen ewigen, unendlichen Kosmos einem Kosmos vorzog, der die Leere beinhaltete», schreibt Seife. Seltsamerweise verwendeten die Griechen aber in der Astronomie die babylonische Anregung und die Null. Zudem bringt man ziemlich spekulativ das Zeichen für die Null, dieses hohle Oval, oft mit dem griechischen Kleinbuchstaben Omikron (o) in Verbindung, weil es der erste Buchstaben des griechischen Wortes «oudén» für «nichts» ist. Aristoteles’ Einfluss wirkte bis ins christliche Mittelalter, hier wurde die Leere, das «ungestaltete Sein», als Teufelswerk verdammt.
Es liesse sich auch annehmen, dass das Nullzeichen aus dem Abdruck eines runden Rechensteines im Sand entstand. Dessen Spur wäre zwar als voller Fleck erschienen, aber wenn man sich vorstellt, dass ein Rechenbrett - der Abakus - leicht mit Sand bestreut war, dann hätte der Stein den Sand möglicherweise verdrängen können, und ein leerer Punkt, der das Nichts ausdrückte, wäre zurückgeblieben.
Kapitel 5
Da sie im Westen verfemt wurde, ging die Null von Babylon nach Osten. Die heute bekannten arabischen Ziffern entwickelten sich aus den Zeichen, die die Inder verwendeten. Bei ihnen wurde die Null eine eigenständige Zahl. Die Erfindung, die in Indien vollzogen wurde, bestand darin, dass die Anzahl der Rechensteine in Ziffern angegeben wurde, das heisst, zunächst auf dem mit Sand bestreuten Rechenbrett aufgeschrieben, dann unabhängig von ihm notiert wurde. Das Rechenbrett bestand zum Beispiel aus vier Unterteilungen, lagen also von links nach rechts in der ersten Spalte zwei, in der zweiten keine, in der dritten fünf und in der vierten drei Steine, ergab dies die Zahl zweitausendunddreiundfünfzig. Diese Zahl, 2053, kann in Ziffern nicht notiert werden, wenn man die Null nicht duldet. Auch wenn es absurd klingt: Das Zeichen der Null muss da sein, um anzugeben, dass nichts da ist. Das Rechenbrett hatte allerdings die Überlegenheit der Anschaulichkeit, die indisch-arabischen Zahlzeichen waren abstrakter, sie wurden im Abendland lange noch Figuren genannt.
«Die Inder hatten übrigens schon erkannt, dass die Null eine ganz seltsame Zahl ist, wenn man die üblichen arithmetischen Aktionen auf sie anwendet. Schliesslich ergibt jede Zahl, die mit null multipliziert wird, wiederum null; die Null saugt sozusagen alles in sich auf. Und wenn wir durch sie teilen, dann ist der Teufel los», notiert Seife. Also doch! Aber die Mathematiker reagierten darauf mit der Zeit pragmatisch und haben schlicht verboten, durch null zu dividieren (Herbert Cerutti im «NZZ Folio» Nr. 2/2002). Wer auf seinem Taschenrechner eine Zahl durch null teilt, erhält als Resultat ein grosses E, es steht für Error, für Irrtum, Fehler, obwohl das kleine Gerät doch als unfehlbar gilt.
Um noch einen weiteren Kulturkreis einzubeziehen: Die Maya verwendeten für die Null das Symbol einer stilisierten geschlossenen Muschel.
Kapitel 6
Die Araber übernahmen also von den Indern die Null, die «sunya», «leer», hiess und zum arabischen «sifr» wurde, was in der deutschen «Ziffer» nachklingt. Damit erhielt die Null hochmütig gleich den Namen aller Zahlzeichen. Wobei Kaplan betont, dass das Konzept, die Vorstellung von der Relevanz der Null und ihrer Eleganz als Rechenmittel, wichtiger sei als das Symbol. Es liesse sich aber auch die Version vom arabischen «sifr» über das lateinische «zephirus» zum französischen «zéro» oder zum englischen «zero» nachzeichnen. Die Null verbreitete sich vor allem mit der Lehre des Islam.
Die Null ist nicht nur eine Zahl, sie taucht auch in einigen Redewendungen auf, oft in abfälliger oder pessimistischer Bedeutung. Mit «einer Null» meint man einen uninteressanten Menschen oder einen Versager. Kaplan bringt die runden Brandzeichen, die man im Mittelalter Verbrechern auf die Stirn brannte, in diesen Zusammenhang. «Von lauter Nullen regiert werden» heisst die Inkompetenz der Behörden hervorheben. Eine Nullnummer ist ein Prototyp oder eine erste Probenummer einer Zeitung oder Zeitschrift. Bleibt noch: «null Bock haben».
Kapitel 7
Erst durch die Ausdehnung des Handels akzeptierte der Westen allmählich die Null. Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, ein italienischer Mathematiker und Sohn eines Kaufmanns, lebte um 1200 und lernte die Mathematik von Muslimen. Er kannte also die Null und führte sie mit einem kleinen populären Rechenbuch endlich im Westen, in Europa, ein. Er berief sich vor allem auf deren Nützlichkeit und Vereinfachung der Rechenoperationen. Fibonacci überzeugte die Kaufleute, nicht aber die Machthaber, noch 1299 verboten sie in Florenz die arabischen Ziffern, weil man aus einer Null doch so leicht eine Sechs oder eine Neun machen könne und so dem Betrug Tür und Tor geöffnet würden. Doch der «Triumph der Null» war nicht mehr aufzuhalten.
Kapitel 8
Die Erfindung der Perspektive in der Renaissance durch den erwähnten Baumeister Brunelleschi dokumentiert die unübersehbare Macht der Null. Sie ist konzentriert im Fluchtpunkt. Alltägliche Gegenstände sind dreidimensional, würden sie flach gepresst, wären sie zweidimensional wie auf einer Zeichnung, einem Bild oder Foto. Eindimensional würden sie, könnte man sie auf eine Linie reduzieren. Zuletzt folgt logischerweise: «Ein Punkt ist ein nulldimensionaler Gegenstand», so Seife. In einer perfekt perspektivisch konstruierten Zeichnung laufen alle Linien im Fluchtpunkt zusammen, und der wird in der Betrachtung als unendlich weit weg empfunden.
Kapitel 9
Im Koordinatensystem von René Descartes (1596-1650) steht die Null im Zentrum. Es handelt sich um zwei sich kreuzende Linien, die nach rechts und nach oben mit 1, 2, 3 ... nummeriert sind, nach links und nach unten mit -1, -2, -3 ... Ohne die Null im Mittelpunkt wäre dieses Koordinatensystem nicht möglich. Es wäre aussichtslos, auf einfache Weise jeden Punkt in einer Ebene mit zwei Zahlen zu kennzeichnen.
Die beiden Autoren Seife und Kaplan, auf deren Bücher ich mich zur Lokalisierung der Null stützte, behandeln auch detaillierte mathematische Probleme, zum Beispiel die Infinitesimalrechnung, was mir thematische Grenzen auferlegte, nicht aber die Faszination an der Entfaltung der Null nahm.
Nach Seife steckt die Null «hinter allen grossen Rätseln der Physik», mit ihr habe das Universum begonnen, mit ihr werde es enden.
Und Kaplan lässt in einem Zeitsprung den um 1800 nach Zürich emigrierten deutschen Naturforscher Lorenz Oken (eigentlich Ockenfuss, 1779-1851) vor der Credit Suisse an der Bahnhofstrasse innehalten und vor sich hinsagen: «So ist Gott gleich null und null unendliche Intensität ... an der Null vorbei zum Menschen!
WOZ 23/2002
Top«Zwilling der Unendlichkeit. Eine Biografie der Null»
Seife, Charles
Goldmann Verlag. München 2002
272 Seiten. 10 Euro
«Die Geschichte der Null»
Kaplan, Robert
Campus Verlag. Frankfurt a. M. 2000
247 Seiten. 21,50 Euro
